3. [DocT] Méthodologie pour élaborer une étude d’Assimilation de Données ou d’Optimisation¶

Cette section présente un méthodologie générique pour construire une étude d’Assimilation de Données ou d’Optimisation. Elle décrit les étapes conceptuelles pour établir de manière indépendante cette étude. Elle est indépendante de tout outil, mais le module ADAO permet de mettre en œuvre efficacement une telle étude. Les notations sont les mêmes que celles utilisées dans [DocT] Une brève introduction à l’Assimilation de Données et à l’Optimisation.

3.1. Procédure logique pour une étude¶

Pour une étude générique d’Assimilation de Données ou d’Optimisation, les principales étapes méthodologiques peuvent être les suivantes, chacune des étapes étant détaillée dans la section qui suit :

ÉTAPE 1: Spécifier la résolution du système physique et les paramètres à ajuster
ÉTAPE 2: Spécifier les critères de qualification des résultats physiques
ÉTAPE 3: Identifier et décrire les observations disponibles
ÉTAPE 4: Spécifier les éléments de modélisation de l’AD/Optimisation (covariances, ébauche…)
ÉTAPE 5: Choisir l’algorithme d’optimisation et ses paramètres
ÉTAPE 6: Conduire les calculs d’optimisation et obtenir les résultats
ÉTAPE 7: Exploiter les résultats et qualifier leur pertinence physique

Si on veut illustrer ces étapes méthodologiques du point de vue d’une étude appliquée à un système ou un problème industriel, le schéma suivant fait correspondre ces étapes méthodologiques avec les étapes classiques dans une étude :

Les étapes méthodologiques requises lors d’une démarche d’étude appliquée à un système ou un problème industriel

3.2. Procédure détaillée pour une étude¶

ÉTAPE 1: Spécifier la résolution du système physique et les paramètres à ajuster¶

Une source essentielle de connaissance du système physique étudié est la simulation numérique. Elle est souvent disponible à travers un ou des cas de calcul, et elle est symbolisée par un opérateur de simulation (précédemment inclus dans $H$ ). Un cas de calcul standard rassemble des hypothèses de modèles, une implémentation numérique, des capacités de calcul, etc. de manière à représenter le comportement du système physique. De plus, un cas de calcul est caractérisé par exemple par ses besoins en temps de calcul et en mémoire, par la taille de ses données et de ses résultats, etc. La connaissance de tous ces éléments est primordiale dans la mise au point d’une étude d’assimilation de données ou d’optimisation.

Pour établir correctement une étude, il faut aussi choisir les inconnues d’optimisation incluses dans la simulation. Fréquemment, cela peut être à l’aide de modèles physiques dont les paramètres peuvent être ajustés. De plus, il est toujours utile d’ajouter une connaissance de type sensibilité, comme par exemple celle de la simulation par rapport aux paramètres qui peuvent être ajustés. Des éléments plus généraux, comme la stabilité ou la régularité de la simulation par rapport aux inconnues en entrée, sont aussi d’un grand intérêt.

En pratique, les méthodes d’optimisation peuvent requérir une information de type gradient de la simulation par rapport aux inconnues. Dans ce cas, le gradient explicite du code doit être donné, ou le gradient numérique doit être établi. Sa qualité est en relation avec la stabilité ou la régularité du code de simulation, et elle doit être vérifiée avec soin avant de mettre en œuvre les calculs d’optimisation. Des conditions spécifiques doivent être utilisées pour ces vérifications.

Un opérateur d’observation est toujours requis, en complément à l’opérateur de simulation, ou parfois directement inclus dedans. Cet opérateur d’observation, noté $H$ , doit convertir les sorties de la simulation numérique en quelque-chose qui est directement comparable aux observations. C’est un opérateur essentiel, car il est le moyen réel pratique de comparer les simulations et les observations. C’est usuellement réalisé par échantillonnage, projection ou intégration, des sorties de simulation, mais cela peut être plus compliqué. Souvent, du fait que l’opérateur d’observation fasse directement suite à celui de simulation dans un schéma simple d’assimilation de données, cet opérateur d’observation utilise fortement les capacités de post-traitement et d’extraction du code de simulation.

ÉTAPE 2: Spécifier les critères de qualification des résultats physiques¶

Comme les systèmes étudiés ont une réalité physique, il est important d’exprimer les information physiques qui peuvent aider à qualifier un état simulé du système. Il y a deux grand types d’informations qui conduisent à des critères permettant la qualification et la quantification de résultats d’optimisation.

Premièrement, provenant d’une connaissance mathématique ou numérique, un grand nombre d’indicateurs standards permettent de qualifier, en relatif ou en absolu, l’intérêt d’un état optimal. Par exemple, des équations d’équilibre ou des conditions de fermeture sont des mesures complémentaires de la qualité d’un état du système. Des critères bien choisis comme des RMS, des RMSE, des extrema de champs, des intégrales, etc. permettent d’évaluer la qualité d’un état optimisé.

Deuxièmement, provenant d’une connaissance physique ou expérimentale, des informations utiles peuvent être obtenus à partir de l’interprétation des résultats d’optimisation. En particulier, la validité physique ou l’intérêt technique permettent d’évaluer l’intérêt de résultats des résultats numériques de l’optimisation.

Pour obtenir une information signifiante de ces deux types de connaissances, il est recommandé, si possible, de construire des critères numériques pour faciliter l’évaluation de la qualité globale des résultats numériques

ÉTAPE 3: Identifier et décrire les observations disponibles¶

En tant que seconde source d’information principale à propos du système physique à étudier, les observations, ou mesures, notées $\mathbf{y}^o$ , doivent être décrites avec soin. La qualité des mesures, leur erreurs intrinsèques, leur particularités, sont importantes à connaître, pour pouvoir introduire ces informations dans les calculs d’assimilation de données ou d’optimisation.

Les observations doivent non seulement être disponibles, mais aussi doivent pouvoir être introduites efficacement dans l’environnement numérique de calcul ou d’optimisation. Ainsi l’environnement d’accès numérique aux observations est fondamental pour faciliter l’usage effectif de mesures variées et de sources diverses, et pour encourager des essais extensifs utilisant des mesures. L’environnement d’accès numérique intègre la disponibilité de bases de données ou pas, les formats de données, les interfaces d’accès, etc.

ÉTAPE 4: Spécifier les éléments de modélisation de l’AD/Optimisation (covariances, ébauche…)¶

Des éléments supplémentaires de modélisation en Assimilation de Données ou en Optimisation permettent d’améliorer l’information à propos de la représentation détaillée du système physique étudié.

La connaissance a-priori de l’état du système peut être représentée en utilisant une ébauche, notée $\mathbf{x}^b$ , et la matrice de covariance des erreurs d’ébauche, notée $\mathbf{B}$ . Ces informations sont extrêmement importantes à compléter, en particulier pour obtenir des résultats signifiants en Assimilation de Données.

Par ailleurs, des informations sur les erreurs d’observation peuvent être utilisées pour compléter la matrice de covariance des erreurs d’observation, notée $\mathbf{R}$ . Comme pour $\mathbf{B}$ , il est recommandé d’utiliser des informations soigneusement vérifiées pour renseigner ces matrices de covariances.

Dans le cas de simulations dynamiques, il est de plus nécessaire de définir un opérateur d’évolution et la matrice de covariance des erreurs d’évolution associée.

ÉTAPE 5: Choisir l’algorithme d’optimisation et ses paramètres¶

L’Assimilation de Données ou l’Optimisation demandent de résoudre un problème d’optimisation, le plus souvent sous la forme d’un problème de minimisation. Selon la disponibilité du gradient de la fonction coût en fonction des paramètres d’optimisation, la classe recommandée de méthodes sera différente. Les méthodes d’optimisation variationnelles ou avec linéarisation locale nécessitent ce gradient. A l’opposé, les méthodes sans dérivées ne nécessitent pas ce gradient, mais présentent souvent un coût de calcul notablement supérieur.

A l’intérieur même d’une classe de méthodes d’optimisation, pour chaque méthode, il y a usuellement un compromis à faire entre les « capacités génériques de la méthode » et ses « performances particulières sur un problème spécifique ». Les méthodes les plus génériques, comme par exemple la minimisation variationnelle utilisant l”Algorithme de calcul « 3DVAR », présentent de remarquables propriétés numériques d’efficacité, de robustesse et de fiabilité, ce qui conduit à les recommander indépendamment du problème à résoudre. De plus, il est souvent difficile de régler les paramètres d’une méthode d’optimisation, donc la méthodes la plus robuste est souvent celle qui présente le moins de paramètres. Au final, au moins au début, il est recommandé d’utiliser les méthodes les plus génériques et de changer le moins possible les paramètres par défaut connus.

ÉTAPE 6: Conduire les calculs d’optimisation et obtenir les résultats¶

Après avoir mis au point une étude d’Assimilation de Données ou d’Optimisation, les calculs doivent être conduits de manière efficace.

Comme l’optimisation requiert usuellement un grand nombre de simulations physiques élémentaires du système, les calculs sont souvent effectués dans un environnement de calculs hautes performances (HPC, ou High Performance Computing) pour réduire le temps complet d’utilisateur. Même si le problème d’optimisation est petit, le temps de simulation du système physique peut être long, nécessitant des ressources de calcul conséquentes. Ces besoins doivent être pris en compte suffisamment tôt dans la procédure d’étude pour être satisfaits sans nécessiter un effort trop important.

Pour la même raison de besoins de calculs importants, il est aussi important de préparer soigneusement les sorties de la procédure d’optimisation. L’état optimal est la principale information requise, mais un grand nombre d’autres informations spéciales peuvent être obtenues au cours du calcul d’optimisation ou à la fin: évaluation des erreurs, états intermédiaires, indicateurs de qualité, etc. Toutes ces informations, nécessitant parfois des calculs additionnels, doivent être connues et demandées au début du processus d’optimisation.

ÉTAPE 7: Exploiter les résultats et qualifier leur pertinence physique¶

Une fois les résultats obtenus, ils doivent être interprétés en termes de significations physique et numérique. Même si la démarche d’optimisation donne toujours un nouvel état optimal qui est au moins aussi bon que l’état a priori, et le plus souvent meilleur, cet état optimal doit par exemple être vérifié par rapport aux critères de qualité identifiés au moment de ÉTAPE 2: Spécifier les critères de qualification des résultats physiques. Cela peut conduire à des études statistiques ou numériques de manière à évaluer l’intérêt d’un état optimal pour représenter la système physique.

Au-delà de cette analyse qui doit être réalisée pour chaque étude d’Assimilation de Données ou d’Optimisation, il est très utile d’exploiter les résultats d’optimisation comme une partie intégrée dans une étude plus complète du système physique d’intérêt.

3.3. Pour tester une chaîne d’assimilation de données : les expériences jumelles¶

Lors de la mise au point d’une étude d’assimilation, les différentes étapes décrites ci-dessus forment ce que l’on appelle une « chaîne d’assimilation de données ». Les tests et l’analyse de cette chaîne sont essentiels pour évaluer la confiance que l’on peut avoir dans la démarche globale de l’étude.

Pour cela, les expériences jumelles forment un outil classique et très utile, qui permet de se placer dans un environnement particulier où les simulations et les erreurs attendues peuvent être contrôlées. Ainsi, les difficultés méthodologiques ou numériques peuvent être séparées et identifiées, puis corrigées.

On peut schématiser l’approche par expériences jumelles par la figure qui suit, qui présente l’objectif et les moyens de la démarche :

La démarche d’expériences jumelles pour tester et analyser une chaîne d’assimilation de données (AD)

Pour simplifier, on peut décrire l’approche générale pour appliquer la méthodologie d’expériences jumelles de la manière suivante :

on choisit de manière arbitraire un état dit « vrai », qui doit être valide pour la simulation ;
on élabore ensuite des « pseudo-observations » à partir de la simulation de l’état vrai, en échantillonnant la simulation de manière similaire à de vraies observations ;
on incorpore éventuellement du bruit, soit dans l’état vrai, soit dans les pseudo-observations, soit dans la chaîne de calcul, et cela de manière cohérente avec les hypothèses d’élaboration de la chaîne, pour voir son effet sur une partie spécifique de la chaîne ;
on analyse ensuite, selon les hypothèses de bruit appliquées, la capacité de la chaîne à retrouver l’état vrai ou des différences attendues.

Ainsi, la méthodologie d’expériences jumelles, appliquée plusieurs fois et avec des hypothèses contrôlées de bruit ou d’erreur différentes, permet alors de vérifier étape par étape chacune des composantes de la chaîne complète d’assimilation de données.