13.11. Algorithme de calcul « LinearLeastSquares »¶

13.11.1. Description¶

Cet algorithme réalise une estimation linéaire de type « Moindres Carrés » pondérés. Il est similaire à l”Algorithme de calcul « Blue » amputé de sa partie ébauche.

Cet algorithme est toujours le plus rapide de l’ensemble des algorithmes d’optimisation d’ADAO. Il est théoriquement réservé aux cas d’opérateurs d’observation explicitement linéaires, même s’il fonctionne parfois dans les cas « faiblement » non-linéaire. On peut vérifier la linéarité de l’opérateur d’observation à l’aide d’un Algorithme de vérification « LinearityTest ».

Cet algorithme est naturellement écrit pour une estimation unique, sans notion dynamique ou itérative (il n’y a donc pas besoin dans ce cas d’opérateur d’évolution incrémentale, ni de covariance d’erreurs d’évolution). Dans ADAO, il peut aussi être utilisé sur une succession d’observations, plaçant alors l’estimation dans un cadre récursif en partie similaire à un filtre de Kalman. Une estimation standard est effectuée à chaque pas d’observation sur l’état prévu par le modèle d’évolution incrémentale.

Dans tous les cas, il est recommandé de lui préférer au minimum un Algorithme de calcul « Blue », voire un Algorithme de calcul « ExtendedBlue » ou un Algorithme de calcul « 3DVAR ».

13.11.2. Quelques propriétés notables des méthodes implémentées¶

Pour compléter la description on synthétise ici quelques propriétés notables, des méthodes de l’algorithme ou de leurs implémentations. Ces propriétés peuvent avoir une influence sur la manière de l’utiliser ou sur ses performances de calcul. Pour de plus amples renseignements, on se reportera aux références plus complètes indiquées à la fin du descriptif de cet algorithme.

Les méthodes d’optimisation proposées par cet algorithme effectuent une recherche locale du minimum, permettant en théorie d’atteindre un état localement optimal (par opposition à un état « globalement optimal »).

Les méthodes proposées par cet algorithme requièrent la dérivation de la fonction objectif ou de l’un des opérateurs. Cela nécessite que l’un au moins des opérateurs d’observation ou d’évolution soit différentiable voire les deux, et cela implique un temps de calcul supplémentaire dans le cas où les dérivées sont calculées numériquement par de multiples évaluations.

Les méthodes proposées par cet algorithme ne présentent pas de parallélisme interne, mais utilisent la dérivation numérique d’opérateur(s) qui est, elle, parallélisable. L’interaction potentielle, entre le parallélisme de la dérivation numérique, et le parallélisme éventuellement présent dans les opérateurs d’observation ou d’évolution intégrant les codes de l’utilisateur, doit donc être soigneusement réglée.

Les méthodes proposées par cet algorithme atteignent leur convergence sur un ou plusieurs critères statiques, fixés par des propriétés algorithmiques particulières. En pratique, il peut y avoir plusieurs critères de convergence actifs simultanément.

La propriété algorithmique la plus courante est celle des calculs directs, qui évaluent la solution à convergence sans itération contrôlable. Il n’y a aucun seuil de convergence à régler dans ce cas.

13.11.3. Commandes requises et optionnelles¶

Les commandes générales requises, disponibles en édition dans l’interface graphique ou textuelle, sont les suivantes :

EvolutionError: Matrice. La variable désigne la matrice de covariance des erreurs a priori d’évolution, usuellement notée $\mathbf{Q}$ . Sa valeur est définie comme un objet de type « Matrix », de type « ScalarSparseMatrix », ou de type « DiagonalSparseMatrix », comme décrit en détail dans la section Conditions requises pour décrire des matrices de covariance. Sa disponibilité en sortie est conditionnée par le booléen « Stored » associé en entrée.

EvolutionModel: Opérateur. La variable désigne l’opérateur d’évolution du modèle, usuellement noté $M$ , qui décrit un pas élémentaire d’évolution dynamique ou itérative. Sa valeur est définie comme un objet de type « Function » ou de type « Matrix ». Dans le cas du type « Function », différentes formes fonctionnelles peuvent être utilisées, comme décrit dans la section Conditions requises pour les fonctions décrivant un opérateur. Si un contrôle $U$ est inclus dans le modèle d’observation, l’opérateur doit être appliqué à une paire $(X,U)$ .

Observation: Liste de vecteurs. La variable désigne le vecteur d’observation utilisé en assimilation de données ou en optimisation, et usuellement noté $\mathbf{y}^o$ . Sa valeur est définie comme un objet de type « Vector » si c’est une unique observation (temporelle ou pas) ou « VectorSerie » si c’est une succession d’observations. Sa disponibilité en sortie est conditionnée par le booléen « Stored » associé en entrée.

ObservationError: Matrice. La variable désigne la matrice de covariance des erreurs a priori d’ébauche, usuellement notée $\mathbf{R}$ . Cette matrice est définie comme un objet de type « Matrix », de type « ScalarSparseMatrix », ou de type « DiagonalSparseMatrix », comme décrit en détail dans la section Conditions requises pour décrire des matrices de covariance. Sa disponibilité en sortie est conditionnée par le booléen « Stored » associé en entrée.

ObservationOperator: Opérateur. La variable désigne l’opérateur d’observation, usuellement noté $H$ , qui transforme les paramètres d’entrée $\mathbf{x}$ en résultats $\mathbf{y}$ qui sont à comparer aux observations $\mathbf{y}^o$ . Sa valeur est définie comme un objet de type « Function » ou de type « Matrix ». Dans le cas du type « Function », différentes formes fonctionnelles peuvent être utilisées, comme décrit dans la section Conditions requises pour les fonctions décrivant un opérateur. Si un contrôle $U$ est inclus dans le modèle d’observation, l’opérateur doit être appliqué à une paire $(X,U)$ .

Les commandes optionnelles générales, disponibles en édition dans l’interface graphique ou textuelle, sont indiquées dans la Liste des commandes et mots-clés pour un cas d’assimilation de données ou d’optimisation. De plus, les paramètres de la commande « AlgorithmParameters » permettent d’indiquer les options particulières, décrites ci-après, de l’algorithme. On se reportera à la Description des options d’un algorithme par « AlgorithmParameters » pour le bon usage de cette commande.

Les options sont les suivantes :

EstimationOf

Nom prédéfini. Cette clé permet de choisir le type d’estimation à réaliser. Cela peut être soit une estimation de l’état, avec la valeur « State », ou une estimation de paramètres, avec la valeur « Parameters ». Le choix par défaut est « Parameters ».

Exemple : {"EstimationOf":"Parameters"}

StoreSupplementaryCalculations

Liste de noms. Cette liste indique les noms des variables supplémentaires, qui peuvent être disponibles au cours du déroulement ou à la fin de l’algorithme, si elles sont initialement demandées par l’utilisateur. Leur disponibilité implique, potentiellement, des calculs ou du stockage coûteux. La valeur par défaut est donc une liste vide, aucune de ces variables n’étant calculée et stockée par défaut (sauf les variables inconditionnelles). Les noms possibles pour les variables supplémentaires sont dans la liste suivante (la description détaillée de chaque variable nommée est donnée dans la suite de cette documentation par algorithme spécifique, dans la sous-partie « Informations et variables disponibles à la fin de l’algorithme ») : [ « Analysis », « CostFunctionJ », « CostFunctionJAtCurrentOptimum », « CostFunctionJb », « CostFunctionJbAtCurrentOptimum », « CostFunctionJo », « CostFunctionJoAtCurrentOptimum », « CurrentOptimum », « CurrentState », « CurrentStepNumber », « EnsembleOfSimulations », « EnsembleOfStates », « ForecastState », « InnovationAtCurrentAnalysis », « OMA », « SimulatedObservationAtCurrentOptimum », « SimulatedObservationAtCurrentState », « SimulatedObservationAtOptimum », ].

Exemple : {"StoreSupplementaryCalculations":["CurrentState", "Residu"]}

Astuce pour cet algorithme :

Comme les commandes « Background » et « BackgroundError » sont requises pour TOUS les algorithmes de calcul dans l’interface graphique, vous devez fournir une valeur, malgré le fait que ces commandes ne soient pas nécessaires pour cet algorithme, et ne sont donc pas utilisées. La manière la plus simple est de donner « 1 » comme un STRING pour les deux.

13.11.4. Informations et variables disponibles à la fin de l’algorithme¶

En sortie, après exécution de l’algorithme, on dispose d’informations et de variables issues du calcul. La description des Variables et informations disponibles en sortie indique la manière de les obtenir, par la méthode nommée get, depuis la variable « ADD » du post-processing en interface graphique, ou depuis le cas en interface textuelle. Les variables d’entrée, mises à disposition de l’utilisateur en sortie pour faciliter l’écriture des procédures de post-processing, sont décrites dans un Inventaire des informations potentiellement disponibles en sortie.

Sorties permanentes (non conditionnelles)

Les sorties non conditionnelles de l’algorithme sont les suivantes :

Analysis

Liste de vecteurs. Chaque élément de cette variable est un état optimal $\mathbf{x}^*$ en optimisation, une interpolation ou une analyse $\mathbf{x}^a$ en assimilation de données.

Exemple : xa = ADD.get("Analysis")[-1]

CostFunctionJ

Liste de valeurs. Chaque élément est une valeur de fonctionnelle d’écart $J$ choisie.

Exemple : J = ADD.get("CostFunctionJ")[:]

CostFunctionJb

Liste de valeurs. Chaque élément est une valeur de fonctionnelle d’écart $J^b$ , c’est-à-dire de la partie écart à l’ébauche. Si cette partie n’existe pas dans la fonctionnelle, sa valeur est nulle.

Exemple : Jb = ADD.get("CostFunctionJb")[:]

CostFunctionJo

Liste de valeurs. Chaque élément est une valeur de fonctionnelle d’écart $J^o$ , c’est-à-dire de la partie écart à l’observation.

Exemple : Jo = ADD.get("CostFunctionJo")[:]

Ensemble des sorties à la demande (conditionnelles ou non)

L’ensemble des sorties (conditionnelles ou non) de l’algorithme, classées par ordre alphabétique, est le suivant :

Analysis

Liste de vecteurs. Chaque élément de cette variable est un état optimal $\mathbf{x}^*$ en optimisation, une interpolation ou une analyse $\mathbf{x}^a$ en assimilation de données.

Exemple : xa = ADD.get("Analysis")[-1]

CostFunctionJ

Liste de valeurs. Chaque élément est une valeur de fonctionnelle d’écart $J$ choisie.

Exemple : J = ADD.get("CostFunctionJ")[:]

CostFunctionJAtCurrentOptimum

Liste de valeurs. Chaque élément est une valeur de fonctionnelle d’écart $J$ . A chaque pas, la valeur correspond à l’état optimal trouvé depuis le début.

Exemple : JACO = ADD.get("CostFunctionJAtCurrentOptimum")[:]

CostFunctionJb

Liste de valeurs. Chaque élément est une valeur de fonctionnelle d’écart $J^b$ , c’est-à-dire de la partie écart à l’ébauche. Si cette partie n’existe pas dans la fonctionnelle, sa valeur est nulle.

Exemple : Jb = ADD.get("CostFunctionJb")[:]

CostFunctionJbAtCurrentOptimum

Liste de valeurs. Chaque élément est une valeur de fonctionnelle d’écart $J^b$ , c’est-à-dire de la partie écart à l’ébauche. A chaque pas, la valeur correspond à l’état optimal trouvé depuis le début. Si cette partie n’existe pas dans la fonctionnelle, sa valeur est nulle.

Exemple : JbACO = ADD.get("CostFunctionJbAtCurrentOptimum")[:]

CostFunctionJo

Liste de valeurs. Chaque élément est une valeur de fonctionnelle d’écart $J^o$ , c’est-à-dire de la partie écart à l’observation.

Exemple : Jo = ADD.get("CostFunctionJo")[:]

CostFunctionJoAtCurrentOptimum

Liste de valeurs. Chaque élément est une valeur de fonctionnelle d’écart $J^o$ , c’est-à-dire de la partie écart à l’observation. A chaque pas, la valeur correspond à l’état optimal trouvé depuis le début.

Exemple : JoACO = ADD.get("CostFunctionJoAtCurrentOptimum")[:]

CurrentOptimum

Liste de vecteurs. Chaque élément est le vecteur d’état optimal au pas de temps courant au cours du déroulement itératif de l’algorithme d’optimisation utilisé. Ce n’est pas nécessairement le dernier état.

Exemple : xo = ADD.get("CurrentOptimum")[:]

CurrentState

Liste de vecteurs. Chaque élément est un vecteur d’état courant utilisé au cours du déroulement itératif de l’algorithme utilisé.

Exemple : xs = ADD.get("CurrentState")[:]

CurrentStepNumber

Liste d’entiers. Chaque élément est l’index du pas courant au cours du déroulement itératif, piloté par la série des observations, de l’algorithme utilisé. Cela correspond au pas d’observation utilisé. Remarque : ce n’est pas l’index d’itération courant d’algorithme même si cela coïncide pour des algorithmes non itératifs.

Exemple : csn = ADD.get("CurrentStepNumber")[-1]

EnsembleOfSimulations

Liste de vecteurs ou matrice. Chaque élément est une collection ordonnée de vecteurs d’état physique ou d’état simulé éventuellement observé $\mathbf{y}$ . Ce sont des sorties d’opérateur $H$ , c’est-à-dire des états d’observation simulés (nommés « snapshots » en terminologie de bases réduites). A chaque index de pas, il y a 1 état par colonne si cette liste est sous forme matricielle, ou 1 état par élément si c’est effectivement une liste. Important : la numérotation du support ou des points, sur lequel ou auxquels sont fournis une valeur d’état dans chaque vecteur, est implicitement celle de l’ordre naturel de numérotation du vecteur d’état, de 0 à la « taille moins 1 » de ce vecteur.

Exemple : {"EnsembleOfSimulations":[y1, y2, y3...]}

EnsembleOfStates

Liste de vecteurs ou matrice. Chaque élément est une collection ordonnée de vecteurs d’état physique ou d’état paramétrique $\mathbf{x}$ . Ce sont des entrées d’opérateur $H$ , c’est-à-dire des états courants avant observation. A chaque index de pas, il y a 1 état par colonne si cette liste est sous forme matricielle, ou 1 état par élément si c’est effectivement une liste. Important : la numérotation du support ou des points, sur lequel ou auxquels sont fournis une valeur d’état dans chaque vecteur, est implicitement celle de l’ordre naturel de numérotation du vecteur d’état, de 0 à la « taille moins 1 » de ce vecteur.

Exemple : {"EnsembleOfStates":[x1, x2, x3...]}

ForecastState

Liste de vecteurs. Chaque élément est un vecteur d’état (ou un ensemble de vecteurs d’états selon l’algorithme) prévu(s) par le modèle au cours du déroulement itératif temporel de l’algorithme utilisé.

Exemple : xf = ADD.get("ForecastState")[:]

InnovationAtCurrentAnalysis

Liste de vecteurs. Chaque élément est un vecteur d’innovation à l’état analysé courant. Cette quantité est identique au vecteur d’innovation à l’état analysé dans le cas d’une assimilation mono-état.

Exemple : da = ADD.get("InnovationAtCurrentAnalysis")[-1]

OMA

Liste de vecteurs. Chaque élément est un vecteur d’écart entre l’observation et l’état optimal dans l’espace des observations.

Exemple : oma = ADD.get("OMA")[-1]

SimulatedObservationAtCurrentOptimum

Liste de vecteurs. Chaque élément est un vecteur d’observation simulé par l’opérateur d’observation à partir de l’état optimal au pas de temps courant au cours du déroulement de l’algorithme d’optimisation, c’est-à-dire dans l’espace des observations.

Exemple : hxo = ADD.get("SimulatedObservationAtCurrentOptimum")[-1]

SimulatedObservationAtCurrentState

Liste de vecteurs. Chaque élément est un vecteur d’observation simulé par l’opérateur d’observation à partir de l’état courant, c’est-à-dire dans l’espace des observations.

Exemple : hxs = ADD.get("SimulatedObservationAtCurrentState")[-1]

SimulatedObservationAtOptimum

Liste de vecteurs. Chaque élément est un vecteur d’observation obtenu par l’opérateur d’observation à partir de la simulation d’analyse ou d’état optimal $\mathbf{x}^a$ . C’est l’observation de la prévision à partir de l’analyse ou de l’état optimal, et elle est parfois appelée « Forecast ».

Exemple : hxa = ADD.get("SimulatedObservationAtOptimum")[-1]

13.11.5. Voir aussi¶

Références vers d’autres sections :